Парадоксы голосований

Нарушение транзитивности

Первый пример восходит аж к XVIII веку. В  году маркиз де Кондорсе придумал конструкцию парадокса, который под его именем вошел в политическую и экономическую теорию. Идея парадокса Кондорсе проста: рассмотрим три возможных исхода ,  и  и трех участников ,  и . Предположим, что их предпочтения распределены так:

Иначе говоря, предпочтения трех участников получаются циклическим сдвигом одного линейного порядка.

Что будет происходить при голосованиях? Если на выбор предложат  и , то  и  проголосуют за , и будет избран : . Если референдум пройдет между  и , то победа альтернативы  будет обеспечена голосованием агентов  и : . Но если предложат выбор между  и , то  и проголосуют за , и окажется, что ! В парадоксе Кондорсе нарушается транзитивность «мнения большинства».

Давайте посмотрим на это с точки зрения дизайна механизмов. Как построить механизм голосования, который примет верное решение? Да и что вообще такое в данном случае «верное решение»? Вполне естественным может показаться механизм, который последовательно осуществляет референдумы, голосования с двумя исходами, до тех пор, пока (в предположении транзитивности, разумеется) не получит достаточно информации для выбора оптимального исхода. На парадоксе Кондорсе такой алгоритм может работать бесконечно (или выдавать ошибку): сколько ни ходи по кругу, единого оптимального выбора не сделаешь.

Но этим дело не ограничивается. Здесь пока кажется, что вообще все равно, какой выбор делать: все три варианта абсолютно симметричны, так что какая разница функции социального выбора, какой из них предпочесть. Давайте рассмотрим небольшую модификацию парадокса Кондорсе, на которой результаты алгоритма попарного голосования окажутся еще интереснее. Для примера нам потребуются аж семь альтернатив, поэтому давайте назовем их как-нибудь поинтереснее, не просто буквами латинского алфавита.

Пример 6.1. Семеро великих вождей собираются в поход на семивратные Фивы. Собираются в поход двое изгнанников — Тидей и Полиник, собирается царь Адраст, двое аргивских вождей — Капаней и Гиппомедонт, ясновидец Амфиарай и аркадец Парфенопей²⁾

А в это время на Олимпе Гера, Афина и Артемида решают, кого из семи вождей сделать своим любимцем, кому больше других поспособствовать при осаде Фив. Предпочтения богинь весьма замысловаты. Вот они (в таблице сверху вниз степень предпочтения убывает).

1. Тидей против Гиппомедонта: Гера в меньшинстве, Гиппомедонт идет дальше.
2. Гиппомедонт против Капанея: Гера и Афина проводят дальше Капанея.
3. Капаней против Полиника: Полиник побеждает и проходит в следующий бой.
4. Полиник против Парфенопея: несмотря на то, что Гере Парфенопей ну совсем не мил, он побеждает.
5. Парфенопей против Амфиарая: выигрывает Амфиарай.
6. Амфиарай против Адраста: Адраст побеждает, Афина в меньшинстве.

В результате не просто Афина оказалась в меньшинстве в последнем голосовании, а как будто мудрость в этом голосовании и вовсе не ночевала. Богини медленно, но верно спускались вниз по таблице, хотя на каждом шаге делали выбор большинством (можно сказать, конституционным большинством — две трети набиралось). В результате победил царь Адраст, хотя в изначальных предпочтениях и Тидей, и Полиник, и Капаней, и Гиппомедонт у всех трех богинь стояли выше Адраста.

Таким образом, в этом примере голосование привело к тому, что нарушился принцип единогласия; вполне честным и естественным протоколом мы выбрали вариант, не оптимальный по Парето (причем ну совсем далеко не оптимальный).

Но и на этом интересные следствия парадокса Кондорсе не заканчиваются. Давайте подумаем: какие вообще были варианты у наших голосований? Предположим, что мы хотим пока ограничиться выбором между двумя альтернативами. Таким образом, голосование получается двухступенчатым: сначала две альтернативы сражаются друг с другом, потом победитель с третьей. Рассмотрим возможные варианты для классического парадокса Кондорсе (см. рис. 6.1).

Парадокс Кондорсе, когда порядок голосования влияет на результаты выборов, даже если решение принимается демократическим большинством.

1.  побеждает , затем  побеждает . Выигрывает  (рис. 6.1а).
2.  побеждает , затем  побеждает . Выигрывает  (рис. 6.1б).
3.  побеждает , затем  побеждает . Выигрывает  (рис. 6.1в).

Более того, эта зависимость от формата приводит к тому, что попарная независимость предпочтений в этом случае тоже не выполняется. Давайте рассмотрим простую ситуацию, в которой есть ровно две альтернативы:  и , причем большинство хочет выбрать . Тогда простым большинством, конечно,  без проблем выберут. Но если у меньшинства получится построить такую третью возможность , что при выборах  и , то это самое меньшинство сможет, установив правильный порядок выборов (сначала  против , затем  против победителя), провести , а не .

Пример 6.2. В политике такие ситуации редко, но действительно возникают на практике. Они называются «поправки-убийцы» (killer amendments). Вот любопытный пример из практики [75].

В США сенаторов поначалу выбирали не прямым всенародным голосованием, а законодательными органами соответствующего штата. В том, чтобы ввести голосования на пост сенатора, заключалась 17-я поправка к Конституции США, которая в конце концов все же была принята в 1913. Но на пути к ее принятию был один любопытный случай.

Проблема заключалась в том, что в те годы в США Юг и Север все еще не слишком любили друг друга, и южные сенаторы беспокоились, что если федеральное («северное») государство возьмет выборы сенаторов под свой контроль, то северяне-республиканцы сделают что-нибудь ужасное, например допустят на выборы чернокожих — и действительно, некоторые республиканцы так и собирались сделать.

Был достигнут компромисс: билль, который вводил прямые выборы сенаторов, но содержал поправки, ограничивающие контроль федерального правительства над выборами в южных штатах. Его поддерживало большинство (это была возможность  ), и на прямом голосовании между этим биллем и тем, чтобы вообще не вводить прямые выборы (возможность  ), билль бы прошел.

Однако сенатор Сазерленд, лидер меньшинства, которое было против выборов сенаторов как таковых, сумел придумать поправку-убийцу . Таковой стало предложение о прямых выборах сенаторов без каких-либо поправок про южные штаты. Сазерленд устроил дело так, что сначала голосование шло между  и . Меньшинство Сазерленда проголосовало за , северяне-республиканцы тоже проголосовали за , и  победило . Но на этом дело не закончилось: затем встал выбор между  и . Сазерленд внезапно «изменил свою точку зрения» и стал голосовать не за , а за , то есть против выборов совсем. В результате билль  сначала выполнил свою функцию и выбил поддерживаемый большинством билль , а затем не прошел на следующих выборах. Получилась ситуация, изображенная на рис. 6.2 сплошными линиями, вместо ситуации, изображенной там же пунктиром.

Поправка сенатора Сазерленда

Этот же пример демонстрирует, что правдивости при таких выборах тоже лучше не ждать: меньшинство, стоявшее против выборов вообще, здесь было вынуждено сначала голосовать за них, чтобы затем иметь возможность провалить этот исход на следующих выборах. И он же показывает, что попарная независимость тоже недоступна: ведь по этому свойству выбор между  и  не должен зависеть от наличия или отсутствия третьей альтернативы .

Но отсутствие попарной независимости, а также еще более интересный эффект, можно проиллюстрировать и более наглядно.

Пример 6.3. В этом примере мы попробуем «повыбирать» президента Российской Федерации. Делать это мы будем так, как это и делается в реальности: в первом туре участвуют все кандидаты, и если никто не набирает больше 50%, то двое лидеров выходят во второй тур. Предположим, что у нас есть три кандидата на высокий пост и 27 избирателей, чьи предпочтения распределены следующим образом. Цифры в таблице показывают, на какое место ставят данного кандидата эти избиратели, а число в первой строке — сколько избирателей так думают.

Предположим, однако, что Барсуков, пытаясь победить Гризлева в первом туре, сумел воздействовать на сердца некоторых избирателей, и они изменили свои предпочтения между Гризлевым и Барсуковым в пользу последнего: трое из четырех с распределением  переместили Барсукова на первое место, а двое с распределением  изменили его на . Итого получается следующая таблица:

Иначе говоря, Барсуков сделал распределение строго лучше для себя, но в итоге сменил победу на поражение. И все это во вполне естественной системе голосования, которая встречается в мире не так редко.